Modul Matematika Kelas X Semester 2

LOGIKA MATEMATIKA

           Logika adalah dasar dan alat berpikir yang logis dalam matematika dan pelajaran-pelajaran lainnya. Dalam Logika dipelajari metode-metode dan prinsip-prinsip yang dapat dipakai untuk membedakan cara berpikir benar (correct) atau tidak benar (incorrect), sehingga dapat membantu menyatakan ide-ide tepat dan tidak mempunyai arti ganda. Jadi, dalam ilmu logika hanya mempelajari atau memperhatikan kebenaran dan kesalahan dari penalaran, dan penarikan kesimpulan dari sebuah pernyataan atau lebih.

PERNYATAAN

           Pernyataan adalah suatu kalimat yang mempunyai nilai kebenaran benar saja atau salah saja dan tidak kedua-duanya.

Istilah-istilah lain dari pernyataan adalah kalimat matematika tertutup, kalimat tertutup, kalimat deklaratif, statement atau proposisi.    

PERNYATAAN TUNGGAL DAN MAJEMUK       

Pernyataan tunggal atau pernyataan sederhana adalah pernyataan yang tidak memuat pernyataan lain atau sebagai bagiannya.

Pernyataan majemuk adalah pernyataan yang memuat dua atau lebih pernyataan, pernyataan tersebut merupakan bagian dari pernyataan majemuk atau komponen pernyataan majemuk.

Untuk menggabungkan pernyataan-pernyataan tunggal menjadi pernyataan majemuk dapat dipakai kata gabung atau kata perangkai yang disebut operasi-

operasi logika matematika.

Contoh:

1.      2 adalah bilangan prima yang genap  (pernyataan tunggal)

2.     Jakarta adalah ibukota negara RI (pernyataan tunggal)

3.      Merah putih adalah bendera negara RI  (pernyataan tunggal)

4.      Hari ini hujan dan Susi ke sekolah  (pernyataan majemuk)

5.      Jika suatu bilangan habis dibagi dua maka bilangan itu genap  (pernyataan majemuk)

Soal:

Buatlah 5 contoh pernyataan tunggal dan majemuk, kemudian tentukan nilai kebenarannya!  

OPERASI LOGIKA 

           Adapun operasi-operasi yang dapat membentuk pernyataan majemuk adalah

1.  Negasi atau ingkaran, dengan kata perangkai tidaklah benar, simbol  “ ~ “

2.  Konjungsi, dengan kata perangkai dan, simbol “ Ù “

3.  Disjungsi, dengan kata perangkai atau, simbol “ Ú “

4.  Implikasi, dengan kata perangkai Jika ……, maka …….., simbol “ Þ “

5.  Biimplikasi, dengan kata perangkai …….jika dan hanya jika ……., simbol “ Û “

1.  Operasi Negasi

           Operasi negasi atau ingkaran adalah operasi yang dikenakan hanya pada sebuah pernyataan. Operasi negasi dilambangkan “ ~ “

Jika p adalah pernyataan tunggal, maka ~p adalah pernyataan majemuk.

Negasi dari suatu pernyataan yang bernilai benar adalah salah dan negasi dari suatu pernyataan yang bernilai salah adalah benar.

              Suatu pernyataan dan negasinya mempunyai nilai kebenaran yang

              berlawanan

Contoh:

p    :  Jakarta ibukota negara Republik Indonesia

~ p :  Jakarta bukan ibukota negara Republik Indonesia

2.  Operasi Konjungsi

           Suatu pernyataan majemuk yang dibentuk dengan cara menggabungkan dua pernyataan tunggal dengan memakai kata perangkai dan disebut konjungsi. Operasi konjungsi dilambangkan dengan “ Ù “

              Sebuah konjungsi bernilai benar jika komponen-komponennya bernilai

              benar, dan bernilai salah jika salah satu dari komponennya bernilai salah

contoh:
Jakarta ibukota Indonesia dan Kuala lumpur ibukota Malaysia

3. Operasi Disjungsi

           Suatu pernyataan majemuk yang dibentuk dengan cara menggabungkan dua pernyataan tunggal dengan memakai kata perangkai atau disebut disjungsi. Operasi disjungsi dilambangkan dengan “ Ú  “

               Sebuah disjungsi inklusif bernilai benar jika paling sedikit salah satu 

              komponennya bernilai benar, sedangkan disjungsi eksklusif bernilai benar

              jika paling sedikit komponennya bernilai benar tetapi tidak kedua-duanya.

contoh:
Jakarta ibukota Indonesia atau Kuala lumpur ibukota Malaysia

4. Operasi Implikasi

           Suatu pernyataan majemuk yang dibentuk dengan cara menggabungkan dua pernyataan tunggal dengan memakai kata perangkai Jika …. maka ….. disebut implikasi. Operasi implikasi dilambangkan dengan “ Þ  “

              Sebuah pernyataan implikasi hanya salah jika antesedennya benar dan

              konsekwennya salah, dalam kemungkinan lainnya implikasi bernilai benar.

contoh:
Jika Jakarta ibukota Indonesia maka Kuala lumpur ibukota Malaysia

5.  Operasi Bi-implikasi

           Suatu pernyataan majemuk yang dibentuk dengan cara menggabungkan dua pernyataan tunggal dengan memakai kata perangkai …… jika dan hanya jika …… disebut biimplikasi. Operasi biimplikasi dilambangkan dengan “ Û “

              Sebuah pernyataan biimplikasi bernilai benar jika komponen-koponennya

              mempunyai nilai kebenaran sama, dan jika komponen-koponennya

              mempunyai nilai kebenaran tidak sama maka biimplikasi bernilai salah.



contoh:
Jakarta ibukota Indonesia jika dan hanya jika Kuala lumpur ibukota Malaysia

TABEL KEBENARAN

 

Soal:
Tuliskan pernyataan majemuk berikut ini dengan lambang:

1.  Bunga mawar berwarna merah dan bunga melati tidak berwarna putih

2.  Ani dan Ana anak kembar

3.  Cuaca hari ini tidak mendung atau cerah

4.  Jika x = 0 maka 2x=0

5.  Suatu segitiga dikatakan segitiga sama sisi jika dan hanya jika ketiga sudutnya dan ketiga sisinya sama 

Contoh:

 Negasi dari pernyataan di bawah ini adalah:

1.  Ibu memasak di dapur dan Ayah tidak membaca koran

2.  Jika adik dibelikan mainan maka kakak dibelikan sepeda

3.  3x merupakan bilangan genap jika dan hanya jika x bilangan genap

Jawab:

1.  Ibu tidak memasak di dapur atau Ayah membaca koran

2.  Adik dibelikan mainan dan kakak tidak dibelikan sepeda

3. (coba kerjakan sendiri!)

Contoh: 

konvers, invers, dan kontraposisi dari pernyataan "Jika petir menngelegar maka akan turun hujan deras"

Jawab:

konvers: jika akan turun hujan deras maka petir menggelegar

Invers: jika petir tidak menggelegar maka tidak akan turun hujan deras

kontraposisi: jika tidak turun hujan deras maka petir tidak menggelegar